<!DOCTYPE html>
<html>
  <head>
    <title>Numεrωmikωn</title>
    <link rel="stylesheet" href="../stock.css">
    <link rel="icon" type="image/x-icon" href="../favicon.ico">
    <meta content="text/html;charset=utf-8" http-equiv="Content-Type"/>
    <meta name="viewport" content="width=device-width, initial-scale=1" />
  </head>

  <body>
    <div class ="nav">
      <a href="../index">Indεχ</a>
      <a href="../clanky">Článκy</a>
      <a class="active" href="../googologie">Gωωgωlωgiε</a>
      <a href="../o_mne">Ω mně</a>
    </div>

    <div class="content-googology">
      <h1>Rychle rostoucí hierarchie ~ <i>f<sub>ω</sub>(n)</i></h1>

      <p>Konečně zjistíme, co znamená <i>f<sub>x</sub>(n)</i>, a ukážeme si několik příkladů.</p> 

      <p>Rychle rostoucí hierarchie se využívá jako měřítko pro ostatní funkce a velká čísla. Jako vstup bere přirozená čísla a index, 
      jenž označuje rekurzivnost, je libovolný přirozený ordinál. Nejdříve si řekneme, co ordinál vůbec je.</p>

      <p>Ordinály určují pořadí; odpovídají na otázku "kolikátý?". Číslo 3 jakožto ordinál říká "třetí". Máme-li 3 tečky, ordinál 3 poukazuje na
      třetí tečku. Pokud sdělujeme početnost, používáme kardinály; ty zase odpoví na "kolik?". Index v rychle rostoucí hierarchii jednoduše označuje, 
      kolikátou rychle rostoucí funkci z rychle rostoucí hierarchie myslíme.</p>

      <p>Podle těchto jednoduchých pravidel se řídí rychle rostoucí hierarchie:</p>

      <div class="math"> 
        <p>f<sub>0</sub>(n) = n + 1</p>
        <p>f<sub>α + 1</sub>(n) = f<span class="supsub"><sup>n</sup><sub>α</sub></span>(n)</p>
        <p>f<sub>β</sub>(n) = f<sub>β[n]</sub>(n) je-li β mezní ordinál</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Možná to vypadá složitě, tudíž to přeložíme do češtiny.</p>

      <p>První pravidlo říká, že je-li index <i>0</i>, funkce vyplyvne následující přirozené číslo. Tu není co řešit.</p>

      <p>Druhé pravidlo je již složitější, proto si to raději ukážeme na příkladu:</p>

      <div class="math">
        <p>f<sub>2</sub>(3) = f<span class="supsub"><sup>3</sup><sub>1</sub></span>(3)</p>
        <p>f<span class="supsub"><sup>3</sup><sub>1</sub></span>(3) = f<sub>1</sub>(f<sub>1</sub>(f<sub>1</sub>(3)))</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Zjednodušme <i>f<sub>1</sub>(3)</i>:</p>

      <div class="math">
        <p>f<sub>1</sub>(3) = f<span class="supsub"><sup>3</sup><sub>0</sub></span>(3)</p>
        <p>f<span class="supsub"><sup>3</sup><sub>0</sub></span>(3) = f<sub>0</sub>(f<sub>0</sub>(f<sub>0</sub>(3)))</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Teď užijeme nultého pravidla:</p>

      <div class="math"> 
        <p>f<sub>0</sub>(f<sub>0</sub>(f<sub>0</sub>(3))) = f<sub>0</sub>(f<sub>0</sub>(4))</p>
        <p>f<sub>0</sub>(f<sub>0</sub>(4)) = f<sub>0</sub>(5)</p>
        <p>f<sub>0</sub>(5) = 6</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Teď můžeme náš výsledek dosadit zpátky:</p>

      <div class="math"> 
        <p>f<sub>1</sub>(f<sub>1</sub>(6))</p>
      </div>

      <p>Nyní bychom znovu opakovali postup, ale s <i>6</i> opakováními. <i>f<sub>1</sub></i> zdvojnásobuje vstup. Nevěříš-li,
      zkus si sám rozvinout zbytek. Výsledek tedy je:</p>

      <div class="math"> 
        <p>f<sub>2</sub>(3) = 24</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Poslední pravidlo je nejsložitější a závisí na naší volbě takzvané fundamentální posloupnosti. Prozatím používáme Wainerovu hierarchii ordinálů, o níž
      si povíme více, až nám nebude stačit. Nyní si ukážeme jednoduchý příklad s prvním nekonečným ordinálem <i>ω</i>.

      <div class="math"> 
        <p>f<sub>ω</sub>(3) = f<sub>3</sub>(3)</p>
      </div>

      <p>Co jsme tedy udělali? Vyměnili jsme index za vstupní hodnotu. Toto nám pomůže se odrazit a stvořit první opravdu rekurzivní funkci. Zobecníme tedy:</p>

      <div class="math"> 
        <p>f<sub>ω</sub>(n) = f<sub>n</sub>(n)</p>
      </div>

      <p>------</p>

      <p>Teď již víme, co je rychle rostoucí hierarchie a podle kterých pravidel se řídí. V další části si s ní pohrajeme a setkáme se tváří v tvář s prvním
      slavným obrem googologie, Grahamovým číslem.</p>
    </div>

    <footer>
      <p class="footer"><a class="silent" href="https://creativecommons.org/licenses/by/4.0/" target="_blank">Kristian Tichota (CC-BY-4.0)</a></p>
    </footer>
  </body>
</html>
